# 第1種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The First Kind
# 引数 値 値 ($A, $X)
# 戻り値 第1種不完全ガンマ関数 ($IncompleteGammaFunction)
sub COMPLEMENTARYERRORFUNCTIONFIRST{
	my ($A, $X) = @_;
	my $IncompleteGammaFunction = 0;
	my @NewtonsMethod = ();
	my $LegendrePolynomial = 0;
	my $a = 0;
	my $b = $X;
	my $x = 0;
	my $N = 10;
	my $Sum = 0;
	my $Weight = 0;
	my $AB2 = ($a + $b) / 2;
	my $BA2 = ($b - $a) / 2;
	
	# 値の確認
	if($X < 0){
		return 0;
	}
	
	# ガウス-ルジャンドル数値積分 Legendre-Gauss Quadrature
	for(my $i = 1; $i <= $N; $i++){
		my $tmp = 0;
		# ニュートン法 Newton's Method
		@NewtonsMethod = &NEWTONSMETHOD($N, $i);
		$x = $NewtonsMethod[0];
		$LegendrePolynomial = $NewtonsMethod[1];
		# 重み
		$Weight = (2 * (1 - ($x * $x))) / (($N * $LegendrePolynomial) * ($N * $LegendrePolynomial));
	
		$x = $AB2 + ($BA2 * $x);
		$tmp = &INTEGRAND($A, $x);
	
		$Sum += $Weight * $tmp;
	}
	
	# 第1種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The First Kind
	$IncompleteGammaFunction = $BA2 * $Sum;
	
	return $IncompleteGammaFunction;
}
	
# ニュートン法 Newton's Method
# 引数 次数 位置 ($N, $K)
# 戻り値 ニュートン法 ($NewtonsMethod)
sub NEWTONSMETHOD{
	my ($N, $K) = @_;
	my @NewtonsMethod = ();
	my @LegendrePolynomial = ();
	my $Pi = atan2(1, 1) * 4;
	my $X = cos(($Pi * ($K - 0.25)) / ($N + 0.5));
	my $Num = 0;
	my $Den = 0;
	my $PrevX = 0;
	my $Limit = 100;
	my $Epsilon = 1.0e-20;
	
	# 計算
	for(my $i = 0; $i < $Limit; $i++){
		# ルジャンドル多項式 Legendre Polynomial
		@LegendrePolynomial = &LEGENDREPOLYNOMIAL($N, $X);
		# 分子
		$Num = $LegendrePolynomial[0];
		# 分母
		$Den = (($N * ($LegendrePolynomial[1] - ($X * $LegendrePolynomial[0]))) / (1 - ($X * $X)));
	
		# 近似解
		$PrevX = $X;
		$X = $X - ($Num / $Den);
		# ニュートン法 Newton's Method
		# [0] 近似解 [1] 一つ前のルジャンドル多項式の値
		$NewtonsMethod[0] = $X;
		$NewtonsMethod[1] = $LegendrePolynomial[1];
	
		# 収束判定
		last if(abs($X - $PrevX) < $Epsilon);
	}
	
	return @NewtonsMethod;
}
	
# ルジャンドル多項式 Legendre Polynomial
# 引数 次数 値 ($N, $x)
# 戻り値 ルジャンドル多項式 (@LegendrePolynomial)
sub LEGENDREPOLYNOMIAL{
	my ($N, $x) = @_;
	my @LegendrePolynomial = ($x , 1);
	
	# 計算
	for(my $i = 1; $i < $N; $i++){
		my $tmp = ((((2 * $i) + 1) * $x * $LegendrePolynomial[0]) - ($i * $LegendrePolynomial[1])) / ($i + 1);
	
		# [0] 最新 [1] 一つ前
		# ルジャンドル多項式 Legendre Polynomial
		$LegendrePolynomial[1] = $LegendrePolynomial[0];
		$LegendrePolynomial[0] = $tmp;
	}
	
	return @LegendrePolynomial;
}
	
# 被積分関数 Integrand
# 引数 変数 被積分関数 ($X, \@Integrand)
# 戻り値 被積分関数 ($Integrand)
sub INTEGRAND{
	my ($A, $X) = @_;
	my $Integrand = ($X ** ($A - 1)) * exp(-$X);
	
	return $Integrand;
}